A graph is regular if every vertex is of the same degree. Otherwise, it is an irregular graph. Although there is a vast literature devoted to regular graphs, only a few papers approach the irregular ones. We have found four distinct graph invariants used to measure the irregularity of a graph. All of them are determined through either the average or the variance of the vertex degrees. Among them there is the index of the graph, a spectral parameter, which is given as a function of the maximum eigenvalue of its adjacency matrix. In this paper, we survey these invariants with highlight to their respective properties, especially those relative to extremal graphs. Finally, we determine the maximum values of those measures and characterize their extremal graphs in some special classes.

The second smallest Laplacian eigenvalue of a graph G is called algebraic connectivity, denoted a(G). The ordering of trees via this graph invariant is frequently studied in the literature. In this paper, we present a new invariant, the Internal Degree Sequence (IDS), that also supports an accurate evaluation of the connectivity of trees. We compare the IDS with a(G) for all elements in six classes of trees known to have the largest algebraic connectivity and we show that the IDS provides a strict total ordering of the elements of these classes. This result is also proved for a subclass of trees of diameter 4.

O Problema Quadrático de Alocação, PQA, um dos mais difíceis da classe NP-hard, modela diversas aplicações em diferentes áreas como pesquisa operacional, computação paralela e análise estatística de dados discretos. Além disso, problemas conhecidos como o do caixeiro viajante, o da clique maximal, o de particionamento e o de isomorfismo de grafos podem ser formulados como um PQA. Na tentativa de identificar novas propriedades estruturais para este problema, diversas formulações aparecem na literatura. Reunimos tais formulações, destacando suas principais características para classificá-las segundo as técnicas matemáticas nelas adotadas. Finalizamos o artigo avaliando a extensão das contribuições dadas ao problema, quer na elaboração de algoritmos, quer no cálculo de limites inferiores ou na caracterização de classes de exemplares polinomiais ou não, oriundas das diferentes abordagens aqui estudadas.

The Quadratic Assignment Problem, QAP, one of the most difficult problems in NP-hard class, models many applications in several areas such as operational research, parallel and distributed computing, and combinatorial data analysis. Besides, other optimization combinatorial problems such as the traveling salesman problem, maximal clique, isomorphism and graph partitioning can be formulated as a QAP. In this paper, we survey some of the most important formulations available, in order to classify them according to their mathematical resources. Finally, we analyze the extension of the contributions brought by the studies of different approaches.

O Problema Quadrático de Alocação, PQA, pode ser abordado através de uma relaxação na forma do Problema de Alocação Linear, PAL. Introduzimos um poset (conjunto parcialmente ordenado) no conjunto das soluções lineares que nos permite comparar também os custos das soluções do problema quadrático, sem o conhecimento prévio das matrizes que definem seus exemplares. Construímos um algoritmo polinomial capaz de determinar pares de permutações livremente comparáveis, conceito apresentado neste trabalho. Provamos um teorema que garante que os custos associados a tais permutações preservam a ordem dada pelo número de inversões das mesmas. Associando soluções do problema a permutações, testes empíricos são apresentados, visando a validação do número de inversões como um parâmetro de referência para a qualidade das soluções. Este trabalho é uma extensão do artigo [RA01] publicado nos anais do XXXIII SBPO, em CD-ROM, 1277-1287, Sobrapo, ILTC, 2001.

We present an approach to Quadratic Assignment Problem, QAP, via a linear relaxation, through the use of the Linear Assignment Problem, LAP. We define one ordering an LAP-solution-set that makes us compare QAP costs. From here, this poset, partial ordering set, considers coordinates of instances as free variables. We have managed to build a capable algorithm to determine freely comparable permutation pairs. A theorem shows that the order mentioned above is compatible to the one that involves inversion numbers of permutations. We can apply linear and quadratic solutions to permutations and empiric tests are presented to show that the inversion numbers can be used to measure the quality of QAP-solutions. This work is an extension of the article [RA01] published in electronic proceedings of SBPO XXXIII in CD-ROM, 1277-1287, Sobrapo, ILTC, 2001.

Este texto é um pequeno e merecido tributo ao Professor Nelson Maculan Filho por ocasião do seu 60º aniversário, em reconhecimento às suas grandes contribuições à Universidade brasileira. Como amigos, colaboradores e ex-alunos, ficamos sensibilizados e honrados com o convite feito pelo Professor Jayme Luiz Szwarcfiter para escrever este artigo. Carpe diem, querido amigo Maculan!

This article is a small and well deserved tribute to Professor Nelson Maculan Filho on occasion of his 60th anniversary, in recognition to his outstanding contributions to Brazilian universities. As friends, collaborators and former students, we are truly heartier and honored to be invited by Professor Jayme Luiz Szwarcfiter to write down this work. Carpe diem, dear friend Maculan!

O Problema Quadrático de Alocação (PQA) pertence à classe dos problemas NP-Hard e desafia os pesquisadores tanto em sua teoria quanto em sua parte computacional. Pela sua alta complexidade muitos métodos heurísticos têm sido desenvolvidos para tentar resolvê-lo aproximadamente. A metaheurística GRASP (greedy randomized adaptive search procedures) se mostrou bastante eficiente. Neste trabalho, uma proposta para descartar soluções iniciais supostamente ruins é apresentada com base na normalização de custos calculadas num intervalo entre limites de solução. Para este GRASP restrito, foi observada uma redução do tempo computacional para encontrar as soluções ótimas ou soluções viáveis de boa qualidade quando comparado ao GRASP original.

The Quadratic Assignment Problem (QAP) is an NP-hard problem which has been defying researchers both in theoretical aspects and in what concerns computational results. Owing to its high complexity, several heuristics have been developed trying to approximate its solution. The GRASP metaheuristic (greedy randomized adaptive search procedures) shows a good efficiency with it. In this work a proposal to discard initial supposedly bad initial solutionsis based on cost normalization is presented. A reduction of computational time to find optimal or near-optimal solutions was observed with this GRASP, when compared with the original version.

O Problema Quadrático de Alocação (PQA) pertence à classe dos problemas NP-hard. Apesar de muitos métodos heurísticos terem sido desenvolvidos visando a resolução de suas instâncias, ainda não é possível encontrar soluções ótimas para instâncias de ordem acima de 25- Uma versão do GRASP, desenvolvida por Li, Pardalos e Resende [LPR94], se mostrou bastante eficiente para o PQA, o que motivou os autores a elaborar uma proposta de modificação na sua busca local, na tentativa de diminuir o número de iterações necessário à obtenção da melhor solução conhecida.

The Quadratic Assignment Problem (QAP) is an NP-hard problem. Despite the continuous effort in the formulation of new heuristics, optimal solutions are not generally known yet, for instances of order n > 25. A GRASP-type heuristic developed by Li, Pardalos and Resende [LPR94] showed itself to be very efficient and this fact motivated the authors to propose a perfectioning in its local search reducing the number of iterations.